Question

【题目】如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接.

（1）判断与的位置关系并说明理由；

（2）求证：；

（3）若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）先判断出DE＝BE＝CE，得出∠DBE＝∠BDE，进而判断出∠ODE＝90°，即可得出结论；

（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2＝CDAC，再判断出DE＝12BC，AC＝2OE，即可得出结论；

（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．

（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，

连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵OE∥AC，OA=OB，

∴BE=CE，

∴DE=BE=CE，

∴∠DBE=∠BDE，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴，

∴BC2=CDAC，

由（1）知DE=BE=CE=BC，

∴4DE2=CDAC，

由（1）知，OE是△ABC是中位线，

∴AC=2OE，

∴4DE2=CD2OE，

∴2DE2=CDOE；

（3）∵DE=，

∴BC=5，

在Rt△BCD中，tanC=，

设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，

∴x=﹣1（舍）或x=1，

∴BD=4，CD=3，

由（2）知，BC2=CDAC，

∴AC==，

∴AD=AC﹣CD=﹣3=．