Question

如图，已知等边三角形ABC周长为1，△ABC的三条中位线组成△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁的三条中位线组成的△A₂B₂C₂，依此进行下去得△A₅B₅C₅的周长为

1

25

，△A_nB_nC_n的周长是

1

2n

．

Answer 1

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出A₁B₁=AC，B₁C₁=AB，A₁C₁=BC，从而得到△A₁B₁C₁是△ABC周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可．

解答：解：∵△ABC的三条中位线组成△A₁B₁C₁，
∴A₁B₁=AC，B₁C₁=AB，A₁C₁=BC，
∴△A₁B₁C₁的周长=

1

2

△ABC的周长=

1

2

，
依此类推，△A₂B₂C₂的周长=

1

2

△A₁B₁C₁的周长=

1

2

×

1

2

=

1

22

，
…，
∴△A₅B₅C₅的周长=

1

25

，
△A_nB_nC_n的周长=

1

2n

．
故答案为：

1

25

；

1

2n

．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．