Question

（2012•金山区一模）如图，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，长方形DEFG内接于△ABC，点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．
（1）设DG=x，长方形DEFG的面积为y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）若长方形DEFG的面积为36，试求这时

AD

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式；
（2）根据（1）题所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求出这时

AD

AB

的值．

解答：（1）解：设AH与DG交于点P，
∵矩形DEFG，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，且AP⊥DG，
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
即

AP

10

=

x

15

，
∴AP=

2

3

x，从而PH=10-

2

3

x
∴y=DG•DE=x(10-

2

3

x)=-

2

3

x2+10x，
定义域为 0＜x＜15；
（2）由已知，y=-

2

3

x2+10x=36，
解得x=6或x=9，
当x=6时，

AD

AB

=

DG

BC

=

2

5

；
当x=9时，

AD

AB

=

DG

BC

=

3

5

．

点评：此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识，能够根据相似三角形求出矩形的宽是解答此题的关键．