Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与直线AB交于A、B两点，其中A（1，3），B（6，n）.

（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点C，在抛物线上是否存在一点M，满足， 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（6，8）.；（2）存在，（ ，18）或（，18）.

【解析】试题分析：（1）由对称轴为3，可求出b的值，把A的坐标代入，即可得到c的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）联结AC、BC，过A作AD⊥BC，垂足为点D，过M作ME⊥BC，垂足为点E．

由B（6，8）、C（0，8），得到BC∥x轴． 由，得到=10，从而得到M的纵坐标为18或设M（x，18）或M（x， ），把M的坐标代入抛物线解析式，即可求出x的值，从而得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线的对称轴是：直线，

∴

∴

又∵抛物线经过点A（1，3），

∴， …

∴抛物线表达式为：

又∵B（6，n）在抛物线上，代入得

∴

∴B（6，8）．

（2）存在．

联结AC、BC，过A作AD⊥BC，垂足为点D，过M作ME⊥BC，

垂足为点E．

∵B（6，8）、C（0，8），

∴BC∥x轴．

又∵△ABC与△BCM同底， ，AD⊥BC，ME⊥BC，

．∴.

又∵A（1，3），

∴，

∴

∴M的纵坐标为18或．

解法一：设M（x，18）或M（x， ）

∵M在抛物线的图像上，

∴令，解得，

令，方程无解，

∴点M的坐标是（，18）或（，18）．

解法二：∵抛物线的顶点坐标为（3， ）

∴M的纵坐标等于这种情况舍去．

．∵M在抛物线的图像上，

∴代入，解得，

∴点M的坐标是（，18）或（，18）．