Question

【题目】阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
（1）阅读填空
sin30°= ，cos30°= ，则sin230°+cos230°= ；①
sin45°= ，cos45°= ，则sin245°+cos245°= ；②
sin60°= ，cos60°= ，则sin260°+cos260°= ．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④
（2）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（3）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA= ，求cosA．

Answer 1

【答案】
（1）1；1；1；1
（2）

解：如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．

∵sinA= ，cosA= ，

∴sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= ，

∵∠ADB=90°，

∴BD2+AD2=AB2，

∴sin2A+cos2A=1

（3）

解：∵sinA= ，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，

∴cosA= =

【解析】解：∵sin30°= ，cos30°= ，
∴sin230°+cos230°=（ ）2+（ ）2= + =1；①
∵sin45°= ，cos45°= ，
∴sin245°+cos245°=（ ）2+（ ）2= + =1；②
∵sin60°= ，cos60°= ，
∴sin260°+cos260°=（ ）2+（ ）2= + =1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④
【考点精析】利用勾股定理的概念和同角三角函数的关系（倒数、平方和商）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；各锐角三角函数之间的关系：平方关系（sin2A+cos2A=1）；倒数关系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切关系（tanA=sinA/cosA ）．