Question

（2013•平遥县模拟）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（-1，0），tan∠ACO=2．一次函数y=kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y=

m

x

的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b-

m

x

＜0的解集；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求出点M的坐标和AM+BM的最小值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOC中求出AC的长度，然后求出sin∠CAO的值，过点B作BF⊥x轴于点F，由∠BCF=∠CAO，可求出BF，继而得出FC，从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；
（2）不等式的含义为：当x＜0时，求出一次函数值y=kx+b小于反比例函数y=

m

x

的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．
（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A'，连接BA'，则BA'与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA'的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A'的坐标可求出AM+BM的最小值．

解答：解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，

在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

5

，则sin∠CAO=

OC

AC

=

5

5

，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCF+∠ACO=90°，
又∵∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCF=∠CAO，
∴sin∠BCF=sin∠CAO=

BF

BC

=

5

5

，
∴BF=1，
∴CF=

BC2-BF2

=2，
∴点B的坐标为（-3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1=

k

-3

，
解得：k=-3，
故可得反比例函数解析式为y=-

3

x

；
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：

-3k+b=1 -k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

．
故可得一次函数解析式为y=-

1

2

x-

1

2

．

（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b-

m

x

＜0的解集为：-3＜x＜0；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，

设直线BA'的解析式为y=ax+b，将点A'及点B的坐标代入可得：

-3a+b=1 b=-2

，
解得：

a=-1 b=-2

．
故直线BA'的解析式为y=-x-2，
令y=0，可得-x-2=0，
解得：x=-2，
故点M 的坐标为（-2，0），
AM+BM=BM+MA′=BA′=

(-3-0)2+[1-(-2)]2

=3

2

．
综上可得：点M的坐标为（-2，0），AM+BM的最小值为3

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及一次函数与反比例函数的交点问题，综合考察的知识点较多，注意培养自己解综合题的能力，将所学知识融会贯通．