Question

（2013•新华区一模）如图，抛物线y=-x²-x+2与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，它的顶点为M，点P为线段AM上一动点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，设ON的长为m，四边形BCPN的面积为S．解决下列问题：
（1）点M的坐标是（

1

2

，

9

4

）；
（2）求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当m为何值时，PC⊥BC？
（4）将△BOC补成矩形，使△BOC的两个顶点B、C成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．试直接写出矩形未知顶点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式y=-x²-x+2改为顶点式就可以求出顶点坐标，而得出结论；
（2）根据抛物线的解析式求出点A、B、C的坐标，用待定系数法求出AM的解析式，就可以表示出PN的值，由S_{四边形BCPN}=S_梯形PNOC+S_△BOC；
（3）根据勾股定理建立一个关于m的方程组就可以求出其解；
（4）过点O作OT∥BC，PC⊥OT于E，BH⊥OE于H，过点E作EF⊥y轴，垂足为F，易得Rt△CEF∽Rt△BCO，就可以得出线段之间的数量关系，过点O作OG⊥BC，垂足为G，由三角形的面积关系就可以求出OG的值，从而可以由相似三角形的性质求出E的坐标，用同样的方法可以求出H的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²-x+2，
∴y=-（x+

1

2

）²+

9

4

，
∴点M的坐标是（-

1

2

，

9

4

）．

（2）在y=-x²-x+2中，当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
∴OC=2．
当y=0时，-x²-x+2=0，
解得：x₁=-2，x₂=1．
∴A（-2，0）；B（1，0）．
∴OA=2，0B=1．
设直线AM的函数关系式为y=kx+b，则有：

0=-2k+b 9 4 =- 1 2 k+b.

解得：

k= 3 2 b=3.

，
∴y=

3

2

x+3． 
∵ON=m，
∴N（-m，0），
P（-m，-

3

2

m+3）
∴S=S_{四边形PNOC}+S_△OBC=

1

2

[(-

3

2

m+3)+2]m+

1

2

×1×2．
∴S=-

3

4

m2+

5

2

m+1．（

1

2

≤m＜2）．  

（3）连结PB，如果PC⊥BC，则有
PC²=PB²-BC²=PN²+NB²-BC²，
=（-

3

2

m+3）²+（m+1）²-5
=

13

4

m²-7m+5．
如图，过点P作PH⊥y轴，垂足为H，则有
PH=m，CH=2-（-

3

2

m+3）=

3

2

m-1，
在Rt△PHC中，根据勾股定理，得
PC2=PH2+CH2，
=m²+（

3

2

m-1）²，
=

13

4

m²-3m+1
∴

13

4

m2-7m+5=

13

4

m2-3m+1．
解得：m=1．
∴当m=1时，有PC⊥BC；

（4）过点O作OT∥BC，PC⊥OT于E，BH⊥OE于H，过点E作EF⊥y轴，垂足为F，
∴∠CEO=∠BHO=∠OGB=∠OGC=90°．
∴∠ECB=∠HBC=90°．
∴四边形CEHB和四边形OGBH是矩形，
∴CE=HB=OG．
在Rt△BOC中，
∴

OC•BO

2

=

BC•OG

2

．
∵BC=

4+1

=

5

，
∴

1×2

2

=

5 OG

2

，
∴OG=

2 5

5

．
∵△CEF∽△BCO，
∴

EF

CO

=

CE

BC

=

FC

OB

，
∴

2 5 5

5

=

CF

1

，

EF

2

=

2 5 5

5

∴CF=

2

5

，EF=

4

5

，
∴OF=2-

2

5

=

8

5

，
∴E（-

4

5

，

8

5

），
在Rt△OHB中，由勾股定理，得
OH=

1- 20 25

=

5

5

．
作HQ⊥OB于Q，
∴

QH

2

=

5 5 × 2 5 5

2

，
∴QH=

2

5

，
∴OQ=

5 25 - 4 25

=

1

5

，
∴H（

1

5

，-

2

5

）． 
∴矩形另两个顶点的坐标为（-

4

5

，

8

5

），（

1

5

，-

2

5

）．
故答案为：-

1

2

，

9

4

．

点评：本题考查了抛物线顶点式的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，勾股定理的运用，多边形面积公式的运用，矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特别在求第四问时灵活运用相似三角形的性质及勾股定理是解答本题的关键．