Question

如图，已知点A（0，0），B(

3

 ， 0)，C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，使其一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…，则第1个等边三角形的边长等于

 

，第n（n≥1，且n为整数）个等边三角形的边长等于

 

．

Answer 1

分析：根据题目已知条件可推出，AA₁=

3

2

OC=

3

2

，B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

1

2

×

3

2

=

3

22

，依此类推，第n个等边三角形的边长等于

3

2n

．

解答：解：∵OB=

3

，OC=1，
∴BC=2，
所以第1个等边三角形的边长等于AA₁=

3

2

OC=

3

2

，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA₁B₁为等边三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠COA₁=30°，则∠CA₁O=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=

3

2

OC=

3

2

，
同理得：B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

3

22

，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于

3

2n

．
故答案为：

3

2

，

3

2n

．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．