Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

解答：（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形BOC=

60π×22

360

=

2π

3

．
在Rt△OCD中，∵

CD

OC

=tan60°，
∴CD=2

3

．
∴SRt△OCD=

1

2

OC×CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴图中阴影部分的面积为2

3

- 

2π

3

．

点评：此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．