Question

如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）若反比例函数y=

k

x

的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在线段AB上（端点除外）找一点P，使得S_△PEF=S_△CEF，并求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；
（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（3）过C作CP∥EF，交AB于点P，连接PC，PE，PF，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S_△PEF=S_△CEF，此时直线EF与直线CP的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PC的斜率，再由C坐标，确定出直线PC解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线CP解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．

解答：解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C坐标为（3，0）；
（2）∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），
∴直线AC解析式为y=

3-0

1-3

（x-3），即y=-

3

2

（x-3），
将E（2，m）代入得：m=-

3

2

（2-3）=

3

2

，即E（2，

3

2

），
将E坐标代入反比例解析式得：

3

2

=

k

2

，解得：k=3，
则反比例解析式为y=

3

x

；
（3）过C作CP∥EF，交AB于点P，连接PC，PE，PF，
此时S_△PEF=S_△CEF，
由F的横坐标与C横坐标相同，设F（3，b），
将F坐标代入反比例解析式得：b=1，即F（3，1），
∵直线EF的斜率为

3 2 -1

2-3

=-

1

2

，∴直线CP的斜率为-

1

2

，
∴直线CP解析式为y=-

1

2

（x-3）=-

1

2

x+

3

2

，
又P的横坐标与B横坐标相同，都为1，
∴将x=1代入直线CP解析式得：y=-

1

2

+

3

2

=1，
∴此时P的坐标为（1，1）．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，直线的斜率，以及一次函数解析式的确定，是一道综合性较强的试题．