题目内容

如图：已知反比例函数 $数学公式$ （x＜0）和 $数学公式$ （x＞0），直线OA与双曲线 $数学公式$ （x＜0）交于A点，将直线OA向上平移使其分别交双曲线于B、C两点，与y轴交于P，且S_△ABC=4， $数学公式$ ，则k=________．

$\text{[math]}$
分析：设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），C（x_c，y_c），则有x_ay_a=x_by_b=-2，x_cy_c=k，根据OA∥BC，可得 $\text{[math]}$ ，再由S_△ABC=S_梯形AFEB+S_梯形BEDC-S_梯形AFDC=4
，可得y_ax_b-x_ay_b+y_bx_c-y_cx_b-y_ax_c+x_ay_c=8 ②，联立①②得：y_bx_c-y_cx_b=8 ③，再由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即x_b=- $\text{[math]}$ x_c，代入可得出x_cy_c的值，即得出k的值．
解答：

解：设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），C（x_c，y_c），则有x_ay_a=x_by_b=-2，x_cy_c=k．
由平移性质，可得OA∥BC，
∴ $\text{[math]}$ ，
整理得：y_ax_b-y_ax_c=x_ay_b-x_ay_c ①
过点A作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点D．
∵S_△ABC=S_梯形AFEB+S_梯形BEDC-S_梯形AFDC=4
∴ $\text{[math]}$ （AF+BE）•EF+ $\text{[math]}$ （BE+CD）•DE- $\text{[math]}$ （AF+CD）•DF=4，
即： $\text{[math]}$ （y_a+y_b）•（x_b-x_a）+ $\text{[math]}$ （y_b+y_c）•（x_c-x_b）- $\text{[math]}$ （y_a+y_c）•（x_c-x_a）=4，
整理得：y_ax_b-x_ay_b+y_bx_c-y_cx_b-y_ax_c+x_ay_c=8 ②
由①②式得：y_bx_c-y_cx_b=8 ③
由 $\text{[math]}$ ，易得 $\text{[math]}$ ，即x_b=- $\text{[math]}$ x_c，
∴yb= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
代入③式得：3+ $\text{[math]}$ x_cy_c=8，
∴x_cy_c= $\text{[math]}$ ，
即k= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了平行线的性质，点的坐标与线段长度的转换及不规则面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想及整体代入思想的运用，难度较大．