Question

【题目】Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，如图1，点P从C出发向点B运动，点R是射线PB上一点，PR=3CP，过点R作QR⊥BC，且QR=aCP，连接PQ，当P点到达B点时停止运动．设CP=x，△ABC与△PQR重合部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤ ， ＜x≤m，m＜x≤n时，函数的解析式不同）．
（1）a的值为；
（2）求出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）由图2可知，当x=时，点Q在线段AB上，且此时的S=，
PR=3CP=，QR=aCP=a，
∵QR⊥BC，
∴S=PRQR=××a=，即27a=108，
解得a=4．
（2）当x=时，Q点在线段AB上，如图3，

∵AC⊥BC，QR⊥BC，
∴AC∥QR，
∴△ABC∽△QBR，
∴
QR=4CP=，PR=3CP=，BR=BC﹣CP﹣PR= ，
AC=QR==3 ．．
①当点Q在△ACB内时，即0＜x≤时，如图1，
PR=3x，QR=4x，
S=PRQR=6x2 ．
②当点Q在△ACB外且R点在线段CB上时，如图4，

此时x＞，且CR≤BC，
∵CR=CP+PR=4x，
∴＜x≤1．
∵
∴△PQR∽△ABC，
∴∠Q=∠B，
∵∠DEQ=∠REB（对顶角），
∴△DEQ∽△REB．
在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB==5，
∵AC∥QR，
∴△EBR∽△ABC，
∴
RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x，AC=3，BC=4，
∴RE=3﹣3x．
QE=QR﹣RE=4x﹣（3﹣3x）=7x﹣3．
∵△DEQ∽△REB，△EBR∽△ABC，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴DE=QE，QD=QE，QD⊥DE．
S=PRQR﹣QDDE=﹣x2+x﹣．
③当点R在线段CB的延长线上时，如图5，

此时CR=4x＞BC=4，得x＞1；CP=x≤BC=4．
即1＜x≤4．
∵△ABC∽△PQR，
∴∠QPR=∠A，
∵∠PBM=∠ABC，
∴△PBM∽△ABC，
∴PM=PB，MB=PB．
∵PB=BC﹣CP=4﹣x，
∴ S=PMMB=（4﹣x）2=x2﹣x+ ．
综合①②③可得：S=
【解析】（1）由图2可知当x=时S= ， 且此时Q点在线段AB上，利用三角形面积公式即可求出a的值；
（2）由Q点和R点的位置，可将整个移动过程分成三部分，借用三角形相似，找个各边的关系，分割图形，既能找出S和x之间的关系式．