Question

已知关于x的方程x²-6x-m²+2m+5=0．
（1）试说明m取任何实数时，此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实数根为x₁、x₂，若

1

x1

+

1

x2

=-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）只要证明判别式总大于0即可；
（2）根据

1

x1

+

1

x2

=

x2+x1

x1•x2

=-2，利用一元二次方程根与系数的关系求得两根的积和两根的和，代入即可得到关于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：（1）△=36-4（-m²+2m+5）
=4m²-8m+16
=4（m-1）²+12
∵4（m-1）²+12＞0，
∴△＞0．
∴不论m取何值，此方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵

1

x1

+

1

x2

=-2，
∴

x2+x1

x1•x2

=-2，
∴6=-2（-m²+2m+5），
∴m²-2m-8=0，
∴m₁=4，m₂=-2．

点评：解答此题需要将原题转化为根的判别式和根与系数的关系来解答，体现了转化思想在解题时的应用．