Question

如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，∴

DE

=

DF

，
而S_△ABD=

1

2

AB

×

DE

，
S_△ACD=

1

2

AC

×

DF

则S_△ABD：S_△ACD=

AB

：

AC

（2）在图2中，作AP⊥BC而S△ABD=

1

2

BD

×

AP

，S△ACD=

1

2

CD

×

AP

，
则S_△ABD：S_△ACD=

BD

：

CD

；
（3）由（1）、（2）可得“角平分线”第二性质

AB

：

AC

=

BD

：

CD

．

Answer 1

分析：（1）先由角平分线的性质得出DE=DF，再由三角形的面积公式得出S_△ABD及S_△ACD即可；
（2）作AP⊥BC，由三角形的面积公式可得出S_△ABD及S_△ACD，进而可得出其比值；
（3）综合（1）、（2）中S_△ABD及S_△ACD的比值即可得出结论．

解答：解：（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S_△ABD=

1

2

AB×DE，S_△ACD=

1

2

AC×DF，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC．
故答案案为：DE=DF，AB、DE，AC、DF，AB：AC；

（2）在图2中，作AP⊥BC，
∵S△ABD=

1

2

BD×AP，S△ACD=

1

2

CD×AP，
∴S_△ABD：S_△ACD=BD：CD；
故答案为：BD、AP，CD、AP，BD、CD；

（3）∵（1）中，S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，
在（2）中，S_△ABD：S_△ACD=BD：CD，
∴AB：AC=BD：CD．
故答案为：AB、AC、BD、CD．

点评：本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解答此题的关键．