Question

26、如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）根据（2）中的结论，即可证明CD=BC．

解答：证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=BC，
∴△BAD≌△CBE．
∴AD=BE．

（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA．
由（1）AD=BE得：AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°．
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7．
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE．
即，AC是线段ED的垂直平分线．

（3）△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
由（2）得：CD=CE，
由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．

点评：综合运用了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质．此类题注意已证明的结论的充分运用．