Question

已知抛物线y＝x²－(2m＋4)x＋m²－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

(1)用配方法求顶点C的坐标(用含有m的代数式表示)；

(2)“若AB的长为2，求抛物线的解析式”的解法如下：

由(1)知，对称轴与x轴交于点D(________，0)．

∵抛物线具有对称性，且AB＝2，

∴AD＝DB＝|x_A－x_D|＝．

∵A(x_A，0)在抛物线y＝(x－h)²＋k上，

∴(x_A－h)²＋k＝0．　　　　①

∵h＝x_C＝x_D，

∴将|x_A－x_D|＝代入①，得到关于m的方程0＝()²＋(________)．　　②

补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法．

(3)将(2)中条件“AB的长为2”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出抛物线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)∵y＝x2－(2m＋4)x＋m2－10＝〔x－(m＋2)〕2－4m－14， 　　∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)． 　　(2)D(m＋2，0)． 　　又可得到0＝()2＋(－4m－14)．　　② 　　解得m＝－3． 　　当m＝－3时，抛物线y＝x2＋2x－1与x轴有交点，且AB＝2符合题意． 　　故所求抛物线的解析式为y＝x2＋2x－1． 　　步骤①的解题依据是：抛物线上一点的坐标满足函数的解析式；步骤②的解题方法是：代入法． 　　(3)∵△ABC是等边三角形， 　　∴由(1)知CD＝|－4m－14|＝4m＋14，(－4m－14＜0)， 　　AD＝DB＝CD＝(4m＋14)＝|xA－xD|． 　　∵点A(xA，0)在抛物线上，∴0＝(xA－h)2＋k． 　　∵h＝xC＝xD， 　　∴将|xA－xD|＝(4m＋14)代入上式，得0＝(4m＋14)2－4m－14． 　　∵－4m－14＜0，∴(4m＋14)－1＝0，∴m＝－． 　　当m＝－时，抛物线，y＝x2＋x－与x轴有交点，且符合题意． 　　故所求抛物线的解析式为y＝x2＋x－．