题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A、B（A在B的右边），与y轴正半轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，抛物线的对称轴为直线l交CD于点M，交x轴于点N，四边形CDAN是平行四边形．
（1）若a=-1， $数学公式$ ，求b的值；
（2）若a=-1，求b与c的关系；
（3）抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P，求PM：OC的值．

解：（1）∵a=-1，c= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+ $\text{[math]}$ ，
∴C（0， $\text{[math]}$ ），
∵点N在对称轴上，
∴N（ $\text{[math]}$ ，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b， $\text{[math]}$ ），四边形CDAN为平行四边形，
∴AN=CD=b，
∴A（ $\text{[math]}$ ，0），
∴-（- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ •b+ $\text{[math]}$ =0，
b=± $\text{[math]}$ ，
∵- $\text{[math]}$ ＞0，
∴b= $\text{[math]}$ ；

（2）∵a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（ $\text{[math]}$ ，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=b，
∴A（ $\text{[math]}$ ，0），
∴-（- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ •b+c=0，
∴4c=3b²；

（3）∵抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（- $\text{[math]}$ ，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（- $\text{[math]}$ ，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=- $\text{[math]}$ ，
∴A（- $\text{[math]}$ ，0），
∴-（- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ •b+c=0，
4ac=-3b²；
∵P为抛物线的顶点，∴P（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴PM= $\text{[math]}$ -c=- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先将a和c的值代入y=ax²+bx+c，求出C点坐标，结合四边形CDAN是平行四边形便可求出b的值；
（2）将a=-1代入y=ax²+bx+c，再根据二次函数的性质便可求出b与c的关系；
（3）先求出抛物线的顶点P的坐标，便可求出PM：OC的值．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．