Question

如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16．试问在△ABC内能否找到一点，使这点到各边的距离相等？如果能，请用尺规作图法作出这一点，再证明，并求出这个距离；如果不能．请说明理由．

Answer 1

分析：此点在∠ABC和∠BAC的平分线的交点处；
首先作MD⊥AB，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可得MD=MF=ME，连接CM，设MD=MF=ME=x，在△ABC中，根据AB=20，AC=12，BC=16可证出△ABC是直角三角形，再根据S_△ABC=S_△ABM+S_△BCM+S_△ACM即可算出答案．

解答：解：能，作∠ABC和∠BAC的平分线，其交点为M，则点M到各边的距离相等；理由如下：
作MD⊥AB，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分别为D，E，F，
∵BM是∠ABC的平分线，AM是∠BAC的平分线，
∴MD=MF，MD=ME（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
即MD=MF=ME．
连接CM，设MD=MF=ME=x，
在△ABC中，
∵AB=20，AC=12，BC=16，
而12²+16²=144+256=400=20²，
即AC²+BC²=AB²，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

1

2

×16×12=96，
又S_△ABC=S_△ABM+S_△BCM+S_△ACM=

1

2

（AB+BC+AC）x=

1

2

×48x=24x，
则24x=96，
x=4，
∴这个距离为4．

点评：此题主要考查了作已知角的平分线，以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．