Question

如图，已知直线y＝－x＋2与抛物线y＝a(x＋2)²相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．

(1)请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

(2)若P为线段AB上一个动点(A、B两端点除外)，连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l²与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)A的坐标是(0，2)　1分 　　抛物线的解析式是y＝(x＋1)2　3分 　　(2)如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，过点P作PD⊥x轴于点D　4分 　　设P的坐标是(x，－x＋2)，则在Rt△PDM中， 　　PM2＝DM2＋PD2 　　即l2＝(－2－x)2＋(－x＋2)2＝x2＋2x＋8　6分 　　自变量x的取值范围是：－5＜x＜0　7分 　　(3)存在满足条件的点P　8分 　　连接AM，由题意得，AM＝＝＝2　9分 　　①当PM＝PA时，x2＋2x＋8＝x2＋(－x＋2－2)2 　　解得：x＝－4　此时y＝－×(－4)＋2＝4 　　∴点P1(－4，4)　10分 　　②当PM＝AM时，x2＋2x＋8＝(2)2 　　解得：x1＝－　x2＝0(舍去)　此时y＝－×(－)＋2＝ 　　∴点P2(－，)　11分 　　③ 当PA＝AM时，x2＋(－x＋2－2)2＝(2)2 　　解得：x1＝－ 　　x2＝(舍去) 　　此时y＝－×(－)＋2＝ 　　∴点P3(－，)　12分 　　综上所述，满足条件的点为P1(－4，4)、P2(－，)、P3(－，)