Question

如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O₁与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O₂与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O₁，O₂之间的距离d；
（3）令四边形PO₁QO₂的面积为S₁，四边形RMO₁O₂的面积为S₂．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为
的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可知 O1（m，m），O2（n，n）， 设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b， 则有：（0＜m＜n），解得， ∴所求直线的解析式为：y=x； （2）由相交两圆的性质， 可知P、Q点关于O1O2对称． ∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x， ∴Q（1，4）． 如解答图1，连接O1Q． ∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到： O1Q== 又O1Q为小圆半径，即QO1=m， ∴=m， 化简得：m2﹣10m+17=0 ① 如解答图1，连接O2Q， 同理可得：n2﹣10n+17=0 ② 由①，②式可知，m、n是一元二次方程 x2﹣10x+17=0 ③的两个根， 解③得：x=5±， ∵0＜m＜n， ∴m=5﹣，n=5+． ∵O1（m，m），O2（n，n）， ∴d=O1O2==8； （3）假设存在这样的抛物线， 其解析式为y=ax2+bx+c， 因为开口向下，所以a＜0． 如解答图2，连接PQ． 由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2． ∵P（4，1），Q（1，4）， ∴PQ==， 又O1O2=8， ∴S1=PQO1O2=××8=； 又S2=（O2R+O1M）·MR=（n+m）（n﹣m）=； ∴==1， 即抛物线在x轴上截得的线段长为1． ∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0， 设两根为x1，x2， 则有：x1+x2=，x1x2=， ∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1， ∴（x1﹣x2）2=1， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1， 即（）2﹣4（）=1， 化简得：8a2﹣10a+1=0， 解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾， ∴不存在这样的抛物线．