Question

已知关于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，得
△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）
=4k²-12k+9-4k²+4
=-12k+13＞0．
∴k＜

13

12

．
∴当k＜

13

12

时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则x₁+x₂=

2k-3

k-1

=0，解得k=

3

2

．
检验知k=

3

2

是

2k-3

k-1

=0的解．
所以当k=

3

2

时，方程的两实数根x₁，x₂互为相反数．
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，直接写出正确的答案．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式△＞0确定k的取值范围，首先要理解方程是一元二次方程，即k-1≠0．
（2）若两实数根互为相反数，则结合根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值，看此时求得的k的值在不在（1）所求的k的取值范围内，再判断是否存在满足题意的k值．

解答：解：有，（1）和（2）都错误．
（1）中，因为方程要有两个不相等的实数根，则该方程还必须是一元二次方程，
即k-1≠0，k≠1．
则（1）的解应为当k＜

13

12

，且k≠1时，方程有两个不相等的实数根．

（2）中，当k=

3

2

时，结合（1）的结论，则此时方程无实数根，应舍去．
因此不存在k，使方程两实根互为相反数．

点评：考查根的判别式，根与系数的关系及取值范围进行检验．