Question

如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．

Answer 1

证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；
在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE，
∴AE=AF+EF=BD+DE．
分析：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，由圆周角定理得，∠CBD=∠CAF，根据SAS可以利用已知条件证明△ACF≌△BCD?CF=CD，由于CE⊥AD，根据等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，EF=DE，则AE=AF+EF=BD+DE．
点评：本题通过作辅助线，构造全等三角形，利用圆周角定理和全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质求解．