题目内容

在反比例函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象上，有一系列点A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n+1，若A₁的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n+1分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S₁=________，S₁+S₂+S₃+…+S_n=________．

6 $\text{[math]}$
分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出S_n的表达式，把n=1代入求得S₁的值．
解答：∵点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1在反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
又点A₁的横坐标为2，
∴A₁（2，6），A₂（4，3），
∴S₁=2×（6-3）=6；
由题图象知，A_n（2n， $\text{[math]}$ ），A_n+1（2n+2， $\text{[math]}$ ），
∴S₂=2×（3-2）=2，
∴图中阴影部分的面积知：S_n=2×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，（n=1，2，3，…）
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=12（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）=12（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故答案为：6， $\text{[math]}$ ．
点评：此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出A_n的坐标的表达式，再由此求出S_n的表达式．