Question

已知二次函数．

【小题1】当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围；
【小题2】以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
【小题3】若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值．

Answer 1

【小题1】因为
所以抛物线的对称轴为，                            ……………… 1分
因为要使时，函数值y随x的增大而减小，
所以由图像可知对称轴应在直线右侧，从而m≥2.
【小题2】（方法一）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则，设，∴，…………………  4分

又
，…………………  5分
∴，∴，…………………  6分
∴，，                
∴定值；…………………7分
（方法二）由顶点以及对称性，设， …………………  4分
则M,N的坐标分别为 ，  5分
因为M，N两点在抛物线上，
所以，             …………………  6分
即，解得，           
所以（与m无关）；
【小题3】令，即时，              
有，            …………………  9分
由题意，为完全平方数，令，    
即， ∵为整数，∴的奇偶性相同，
∴或解得或
综合得.

解析