Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线BD刚好相切．
（1）试证：∠CBD=∠A；
（2）若cosA=

2 5

5

，BD=2

5

，试计算⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）连OD，根据切线的性质得OD⊥BD，则∠ADO+∠BDC=90°，而∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠ADO，易得∠CBD=∠A；
（2）连DE，在Rt△DCB，由cosA=

2 5

5

，BD=2

5

，根据三角函数的定义得BC=

2 5

5

×2

5

=4，再利用勾股定理得DC=2，在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r，得AD=2r•

2 5

5

，DE=

2 5

5

r，根据DE∥BC得DE：BC=AD：AC，得到关于r的方程

2 5

5

r：4=

4 5

5

r：（

4 5

5

r+2），解方程求出r，然后根据圆的面积公式计算即可．

解答：解：（1）证明：连OD，如图，
∴∠A=∠ADO，
∵直线BD与⊙O相切，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠CBD=∠A；
（2）连DE，cosA=cos∠CBD=

2 5

5

，
在Rt△DCB，cosA=

2 5

5

，BD=2

5

，
∴cos∠CBD=

BC

DB

，
∴BC=

2 5

5

×2

5

=4，
∴DC=

BD2-BC2

=2，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r，
∴cosA=

AD

AE

=

2 5

5

，
∴AD=2r•

2 5

5

=

4 5

5

r，
∴DE=

2 5

5

r，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AC，即

2 5

5

r：4=

4 5

5

r：（

4 5

5

r+2），
∴r=

3 5

2

，
∴⊙O的面积=π•（

3 5

2

）²=

45

4

π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理得推理以及三角形相似的判定与性质．