Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC、BC的长恰好为方程x²-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由根与系数关系，得AC+BC=14，结合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC•BC=a求a的值；
（2）由勾股定理得AB=10，则AD=5，当点P经过D点时，t=2.5，此时BQ=5，QC=BC-BQ=1，点Q到C点还需要1秒，根据时间段分别求S与t之间的函数关系式．

解答：解：（1）∵AC、BC的长为方程x²-14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC-BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48；

（2）作PH⊥BC，垂足为H，
∵∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+ BC2

=10．
又∵D为AB的中点，
∴CD=

1

2

AB=5．
当0＜t≤2.5时，由PH∥AC得

PH

AC

=

PB

AB

，即

PH

8

=

10-2t

10

，
解得PH=

4

5

（10-2t），
S=

1

2

×CQ×PH=

1

2

（6-2t）×

4

5

（10-2t）=1.6t²-12.8t+24，
当2.5＜t≤3.5时，
同理，得S=1.2t²-9.2t+17.5．

点评：本题考查了根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理的运用．关键是根据比例表示△PCQ的高，本题还考查了分类讨论的思想．