Question

【题目】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）

（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；

（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．

①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；

②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．

Answer 1

【答案】（1）AQ=8﹣t（0≤t≤4）；（2）t=s或3s；（3）①；②t=s或s．

【解析】试题分析：（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=AC﹣CQ即可解决问题；

（2）分两种情形列出方程求解即可；

（3）①分三种情形a、如图1中，当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF．b、如图2中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．分别求解即可；

②分两种情形a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；

试题解析：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC== =8，∵CQ=t，∴AQ=8﹣t（0≤t≤4）．

（2）①当PQ∥BC时， ，∴，∴t=s．

②当PQ∥AB时， ，∴，∴t=3．

综上所述，t=s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．

（3）①如图1中，a、当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF．

S=PEEQ=3t（8﹣4t﹣t）=．

b、如图2中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．

S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ [5t﹣（8﹣t）] [5t﹣（8﹣t0]= ．

C．如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．

S =S四边形PBQF -S△FNM=t[6﹣3（t﹣2）]﹣[t﹣4（t﹣2）] [t﹣4（t﹣2）]= ．

综上所述： ；

②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

则有（4﹣4t）：（4﹣t）=1：2，解得t=s；

b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，∴（4t﹣4）：（4﹣t）=1：3，解得t=s．

综上所述，当t=s或s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．