Question

已知：在菱形中，是对角线上的一动点．

（1）如图甲，为线段上一点，连接并延长交于点，当是的中点时，求证：；

（2）如图乙，连结并延长，与交于点，与的延长线交于点．若，求和的长．

 

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC。

              ∴∠OBP=∠ODQ

            ∵O是是的中点，

            ∴OB=OD

            在△BOP和△DOQ中，

            ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ

∴△BOP≌△DOQ（ASA）

∴OP=OQ。

（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T.

∵ABCD是菱形，∠DCB=60°

∴AB=AD=4，∠ABT=60°

∴AT=ABsin60°=

TB=ABcos60°=2

∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，

∴AS=。

∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。

∴，

则,∴

∵AS=，∴。

同理可得△ARD∽△SRC。

∴,

则,∴，

∴。

∴OR=OS-RS=。