Question

如图，对称轴为直线x=

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的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上位于第四象限内一动点，将△OAE绕OA的中点旋转180°，点E落到点F的位置．求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当四边形OEAF的面积为24时，请判断四边形OEAF的形状．
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的对称轴，可将其解析式设为顶点式，再根据已知的两点坐标由待定系数法确定该二次函数的解析式；进而能得到顶点D的坐标．
（2）将△OAE绕线段OA中点旋转180°后，旋转前后的两个三角形关于点OA的中点对称，所以四边形OEAF是平行四边形，在求该四边形的面积时，只需求出它的一半即△OAE的面积即可，以OA为底、点E的纵坐标的绝对值为高即可得到△OAE的面积表达式，则S、x的函数关系式可求；
①将S=24代入上面的S、x的函数关系式中，先求出点E的坐标，再判断四边形OEAF的形状；
②若四边形OEAF是正方形，那么△OAE必为等腰直角三角形，可据此求出点E的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）此题需要分两种情况讨论（将平行四边形的另一顶点称作点Q）：
①线段PA为对角线时，先求出DQ的中点，再由P、A关于这个中点对称来得到点P的坐标；
②线段PA为边时，那么DQ必与PA平行，即点Q、D的纵坐标相同，则DQ的长可知，而DQ=PA，可据此求出点P的坐标（注意在点A的左右两侧各有一个）．

解答：解：（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-

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）²+h，代入A（6，0）、B（0，4）后，得：

a(6- 7 2 )2+h=0 a(0- 7 2 )2+h=4

，解得

a= 2 3 h=- 25 6

∴抛物线的解析式：y=

2

3

（x-

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2

）²-

25

6

，顶点D（

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2

，-

25

6

）．

（2）依题意，知：△OAF≌△AOE，得：OE=AF、AE=OF；
∴四边形OEAF是平行四边形．
∵点E（x，y）在抛物线的图象上，
∴y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

；
又∵点E在第四象限，∴y＜0，解得：1＜x＜6；
S=2S_△OAE=2•

1

2

•OA•|y_E|=6•（-y）=-4（x-

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）²+25，（1＜x＜6）．
①当S=24时，-4（x-

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）²+25=24，解得 x₁=3、x₂=4；
1、当x=3时，E（3，-4），此时OE=AE，四边形OEAF为菱形；
2、当x=4时，E（4，-4），此时OE≠AE，且∠OEA≠90°，∴四边形OEAF只是平行四边形．
②假设四边形OEAF为正方形，则OE=AE，OE⊥AE，已知O（0，0）、A（6，0），则 E（3，-3）；
但此时的点E不在抛物线的图象上，因此不存在符合条件的点E．

（3）设平行四边形的另一顶点为Q，分两种情况讨论：
①当PA为平行四边形的对角线时，另一条对角线DQ的中点为（

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，0），而P、A关于（

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4

，0）对称，那么点P（-

5

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，0）；
②当PA为平行四边形的边时，DQ∥PA，且PA=QD=

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2

，已知 A（6，0），则 P（

5

2

，0）或（

19

2

，0）；
综上，点P的坐标为（-

5

2

，0）或（

5

2

，0）或（

19

2

，0）．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定、图形的旋转、图形面积的求法以及特殊四边形的判定等知识；最后一题中，正确判断出最后一顶点的三种情况是解答题目的关键．