Question

如图10-1，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，交⊙O于P、Q两点. 连结AP，过O作OD∥AP交l于点D，连接AD与m交于点M.

(1) 如图10-2，当直线m过点O时，求证：M是PO的中点；

(2) 如图10-1，当直线m不过点O时，M是否仍为PC的中点？证明你的结论.

Answer 1

 (1) 证明：连接PD，

∵ 直线m垂直AB于点C，直线l与⊙O相切于点B，AB为直径，

∴ ∠POA=∠DBA=90°.

又∵ AP∥OD，∴ ∠PAO=∠DOB.

又∵ AO=BO，∴ △APO≌△ODB.

∴ AP=OD，∴ 四边形APDO是平行四边形，

∴ M是PO的中点.

(其他解法：证△APO≌△ODB后，据中位线定理证；或证△DPO≌△DBO，得∠DPO=∠DBO=90°，从而证四边形APDO是平行四边形等.)

(2)  M是PC的中点. 证明如下：

∵AP∥OD，∴ ∠PAO=∠DOB，又 ∠PCA=∠DBO=90°，

∴ △APC∽△ODB，∴ .①

又易证△ACM∽△ABD，∴ .

又∵ AB=2OB，∴ ，∴.②

由①②得，，∴ PC=2MC，即M是PC的中点.