题目内容

5、如果x1，x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，那么x12+x22的值是（　　）
分析：先由根与系数的关系可得：x1+x2=3，x1•x2=1，再由完全平方公式可知x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，然后代入计算，即可求出其值．
解答：解：∵x1，x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=3，x1•x2=1，
又∵（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=32-2×1=7．
故选D．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
练习册系列答案
相关题目
如果x1、x2是一元二次方程x2-6x-5=0的两个实根，那么x1+x2=
 
．
阅读材料：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，
例x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x21+x22的值．
解法可以这样：∵x1+x2=-6，x1x2=-3
则x21+x22=42．
请你根据以上解法解答下题：
已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：（x1+x2）2的值．
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
．
于是有x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
，x1•x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a

综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a

这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=-6，x1x2=-3，则
x
2
1
+
x
2
2
=(x1+x^)2-2x1x2=（-6）2-2×（-3）=42．
请你根据以上材料解答下列题：
（1）若x2+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，求（x1-x2）2的值．
阅读材料：
如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：
已知m与n是方程2x2-6x+3=0的两根
（1）填空：m+n=
 
，m•n=
 
；
（2）计算
1
m
+
1
n
的值．
阅读材料：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题：
设x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x
 
2
1
+x
 
2
2
的值．
解法可以这样：∵x1+x2=-6，x1x2=-3，则x
 
2
1
+x
 
2
2
=（x1+x2）2-2x1x2=（-6）2-2×（-3）=42．
请你根据以上解法解答下题：
已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：
（1）
1
x1
+
1
x2
的值；
（2）（x1-x2）2的值．

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