题目内容

已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=2。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由。

（1）由题意得，∴b=4、c=4  ∴y=-x2+4x+4

（2）y=-(x-2)2+8,B(2,8),

①AB∥OC时，直线AB:y=2x+4,则CO为y=2x

解得，

∴

②AC∥OB时，直线OB:y=4x,则AC为y=4x+4

解得，

C(0,4)与点A重合，舍去。

（3）①当点P在x轴上方时，y=-x2+4x+4=3，解得x1=2+, x2=2-,P1(2+,3), P2(2-,3)此时P到对称轴直线x=2的距离为＜3，即⊙P与对称轴相交。

对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度为4。       

②当点P在x轴下方时，y=-x2+4x+4=-3，解得x1=2+, x2=2-,

P3(2+,-3), P4(2-,-3)

此时P到对称轴直线x=2的距离为＞3，即⊙P与对称轴不相交。

练习册系列答案
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