Question

（2013•南充模拟）如图，已知矩形ABCD中，E为AD上一点，BE⊥CE．
（1）求证：△EAB∽△CDE；
（2）若AB=3，AD=8，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据“矩形的四个角都是直角”、“同角的余角相等”推知△EAB和△CDE中的对应角∠A=∠D=90°，∠ABE=∠DEC，则由相似三角形的判定定理可以证得结论；
（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例来求线段AE的长度．

解答：（1）证明：如图，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°．
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∴△EAB∽△CDE；

（2）解：如图，在矩形ABCD中，AB=CD=3．
由（1）知，△EAB∽△CDE．则

AB

DE

=

AE

DC

，即

3

8-AE

=

AE

3

，
解得，AE=4±

7

．即AE的长度是4±

7

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．解题时，利用了“矩形的四个角都是直角”、“矩形的对边相等”的性质．