Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B、C外）的任意一点，∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：AD=DE．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°
∴∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．

（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE，
∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中
，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
分析：（1）根据等边三角形的性质得出，∠ADE=60°，再利用外角的性质得出，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B，进而得出∠1=∠2；
（2）根据（1）中的结论，以及角平分线的性质得出∠AMD=∠DCE，进而得出△AMD≌△DCE即可得出答案．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定，得出MA=CD是解题关键．