题目内容

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，BC=a．直线l₁是AB的中垂线交BC于B₁，过B₁作B₁A平行于AB交AC于A₁，再作B₁A₁的中垂线交BC于B₂，过B₂作B₂A₂平行于AB交AC于A₂，作B₂A₂的中垂线BC于B₃，如此下去到B_n，则B_n-1B_n=________．

$\text{[math]}$ a
分析：过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD= $\text{[math]}$ BC，根据三角形的内角和定理求出∠B=30°，然后求出AB、BB₁，同理求出B₁B₂、B₂B₃，然后根据规律写出B_n-1B_n即可．
解答：

解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，BC=a，
∴BD= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ a，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠B= $\text{[math]}$ （180°-120°）=30°，
∴AB=BD÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∵直线l₁是AB的中垂线交BC于B₁，
∴BB₁= $\text{[math]}$ AB÷ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a）÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
同理可求，B₁B₂= $\text{[math]}$ （a- $\text{[math]}$ a）= $\text{[math]}$ a，
B₂B₃= $\text{[math]}$ （a- $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ a）= $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a，
…，
依此类推，B_n-1B_n= $\text{[math]}$ a．
故答案为： $\text{[math]}$ a．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形，根据计算结果观察出数字变化规律是解题的关键．