Question

如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何（　　）

• A、40
• B、50
• C、60
• D、80

Answer 1

分析：过C作CL⊥AD于L，连接HE，设正八边形的边长为a，AD=h；先根据△ADE的面积求出矩形ADEH的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD的面积，根据S_{正八边形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH即可解答．

解答：解：过C作CL⊥AD于L，连接HE，则四边形ADEH是矩形；
设正八边形的边长为a，AD=h，
则S_△ADE=

1

2

DE•AD=

1

2

ah=10，ah=20，即S_矩形ADEH=20，
∵正八边形的内角度数为

180°×(8-2)

8

=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，设CL=x，
∴CD²=CL²+LD²，即a²=x²+x²，x=

2

2

a，
∴AD=h=a+

2

a，
∵ah=20，
∴（1+

2

）a²=20，a²=

20

1+ 2

，
∴S_梯形ABCD=

(BC+AD)•CL

2

=

(a+a+ 2 a)• 2 a 2

2

=

2 (2+ 2 )a2

4

=

( 2 +1)• 20 1+ 2

2

=10，
同理，S_梯形EFGH=10，
∴S_{正八边形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH=10+10+20=40．
故选A．

另解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．

点评：本题比较复杂，涉及到正多边形的性质、直角三角形的性质及梯形的面积公式，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形解答．