Question

6．已知，在小房子里的地面C处立着一架梯子，向左边墙靠到点M时，∠MCA=75°，向右靠到点N时，∠NCB=45°，若MA=am，NB=bm，则小房子的宽AB为am．

Answer 1

分析 根据CM=CN以及∠MCN的度数可得到△CMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MC的长，可得到房间宽AB和AM长相等．

解答 解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴∠MCN=180°-45°-75°=60°
∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同，
∵∠NCB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=60°-45°=15°，
∴cos15°=$\frac{x}{NM}$，
又∵∠MCA=75°，
∴∠AMC=15°．
∴cos15°=$\frac{MA}{MC}$，
故可得：$\frac{x}{MN}$=$\frac{MA}{CM}$．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM=CM．
∴x=MA=a．
故答案为：a．

点评 此题主要考查了解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，关键是正确作出辅助线．