Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应位置为G（如图1），BG交AD于E；再折叠，使点D落在点A处，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD于N，展开后得图2，则折痕MN的长为

 

．

Answer 1

分析：依题意可知△DFM为直角三角形，且DF=

1

2

AD=2，由折叠的性质可证△ABE≌△GDE，在Rt△ABE中，由勾股定理求BE，利用△ABE∽△FDM，可得对应边的比相等可求MF，继而求出MN的长．

解答：解：如图，由已知可得MN垂直平分AD，DF=

1

2

AD=2，FN=

1

2

AB=

3

2

，
∵AB=CD=GD，∠A=∠G=90°，∠AEB=∠GED，
∴△ABE≌△GDE，
设AE=x，则BE=ED=4-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AB²+AE²=BE²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=

7

8

，
易证△ABE∽△FDM，
∴

AE

AB

=

MF

FD

，即

7 8

3

=

MF

2

，
解得MF=

7

12

．
∴MN=NF+FM=

7

12

+

3

2

=

25

12

．
故答案为：

25

12

．

点评：本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的运用．关键是由性质将有关线段进行转化．