Question

如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是实数）在抛物线上，直线y=k x +b经过A，B两点．

（1）求直线AB的解析式；
（2）平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D，交抛物线于点E．
①直线x=t（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；
②将抛物线向上平移m(m＞0)个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．

Answer 1

（1）（2）①t₁=1，t₂="3" ②

解析试题分析：（1）∵P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是实数）在抛物线上，
∴抛物线的解析式为y=－4a²＋7a＋2=－4×()²＋7×＋2=－x²＋x＋2．
当y=0时，即－x²＋x＋2=0，解得x₁=－，x₂=4．
当x=0时，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（－，0）．
∴解得
故直线AB的解析式为y=－x＋2．
（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（t，－ t²＋t＋2），F（t，－t＋2），
∴DE=4，FG=－t²＋t＋2－(－t＋2)=－t²＋4t．
∵FG∶DE＝3∶4，
∴－t²＋4t=3．
解得t₁=1，t₂=3．
②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m）
作AH⊥DE，垂足为H．
∴AE²=AH²+HE²=2²+(5+m－2－m)²=13．即AE=．
∵EO平分∠AED，∴∠AEO＝∠DEO．
∵AO∥ED，∴∠DEO＝∠AOE．
∴∠AEO＝∠AOE．

∴AO=AE，即2+m=．解得m=2－
考点：函数与几何图形的结合
点评：该题主要考查学生利用待定系数法求一次函数解析式以及分析二次函数在坐标系中的几何意义，是常考题。