题目内容
已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，AD⊥BC于点D，点E为DA延长线上一点，连接BE，交⊙O于点F，连接CF，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=
，DN=
，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求直径BC的长．
【答案】分析：（1）根据根的判别式得出△=0，进而判断出AM=AN，
（2）首先判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，再利用相似三角形的性质解答，
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．
解答：（1）证明：△=（-2m）2-4（n2-mn+
m2）=-（m-2n）2≥0，
∴（m-2n）2≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
m2=0有两个相等实根，
∴AM=AN．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴
=
，
∴AD2=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴
=
，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD2=ED•DN，
∵AN=
，DN=
，
∴AD=DN+AN=3，
∴32=
DE，
∴DE=8．
（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠ACM+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得
=
，
∴
=
=
=
，
∴
=
，
∴
=
=
，
过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得
=
=
，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，
，
解得：a=±
，
∵a＞0，a=
，
∴BF=
，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴
=
=
设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=
b．
在Rt△ACM中，有MC=
b
由△ACM∽△FCB得
=
，∴
=
，
∴BC=5．
点评：此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三角形相似的判定及性质的应用，此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力．
（2）首先判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，再利用相似三角形的性质解答，
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．
解答：（1）证明：△=（-2m）2-4（n2-mn+
m2）=-（m-2n）2≥0，∴（m-2n）2≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
m2=0有两个相等实根，∴AM=AN．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴
=，∴AD2=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴
=，∴BD•DC=ED•DN，
∴AD2=ED•DN，
∵AN=
，DN=，∴AD=DN+AN=3，
∴32=
DE，∴DE=8．
（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠ACM+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得
=，∴
===，∴
=，∴
==，过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得
==，设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，
，解得：a=±
，∵a＞0，a=
，∴BF=
，由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴
==设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=
b．在Rt△ACM中，有MC=
b由△ACM∽△FCB得
=，∴=，∴BC=5．
点评：此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三角形相似的判定及性质的应用，此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力．
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