Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点 C．

（1）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）3．

【解析】

（1）先根据等腰直角三角形的腰长求出OB＝OC＝3，进而求出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）先确定出抛物线的对称轴，进而求出点C'的坐标，找出PA+PC的最小值为AC'，再求出点A坐标，即可得出结论．

（1）如图1，连接BC，

∵△OBC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，

∴OB＝OC，

∵腰长为3，

∴OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3），

将点B（3，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n中，得，，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴直线为x＝2，

∵点C（0，3），

∴点C关于抛物线的对称轴x＝2的对称点C'（4，3），

连接AC'交抛物线的对称轴于P，此时，PA+PC的值最小，最小值为AC'，

针对于抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，

解得，x＝1或x＝3，

∴A（1，0），

∵C'（4，3），

∴AC'，

即：PA+PC的最小值为，

故答案为：．