Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若CE=BC，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；
（3）若CE=BC，求证：EF⊥AC．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BE，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE，
∴AF=CE．

（2）四边形AFCE是矩形．
证明：∵AF∥BE，AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴AD=DC，ED=DF．
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=30°，
∴∠ACE=60°．
∵CE=BC，CD=AC，
∴CE=CD，
∴△DCE为等边三角形，
∴CD=ED，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形．

（3）证明：∵CE=BC，BC=AC，
∴CE=AC．
∵∠ACE=60°，
∴△ACE为等边三角形，∴CE=AE．
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
∴EF⊥AC．
分析：（1）判断出△ADF≌△CDE，即可得出结论；
（2）利用等边三角形的性质及（1）的结论证明AC=EF，继而可得出结论．
（3）判断四边形AFCE是菱形，继而可得出结论．
点评：本题考查了梯形、矩形的判定及菱形的判定，涉及了全等三角形的判定及等边三角形的性质，综合性较强，关键是各个特殊图形性质的掌握．