Question

如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，M是CD的中点，BM=EM，求证：∠BAC=∠EAD．

Answer 1

解：分别取AC、AD的中点F、G，再连接BF、MF、MG、EG，
∵F是AC中点，∠ABC=90°，
∴BF=AC，
又∵MG是△ACD的中位线，
∴MG=AC，
∴BF=MG，
同理GE=MF，
又∵BM=EM，
∴△BFM≌△MGE，
∴∠BFM=∠MGE，
∵∠CFM=∠CAD=∠DGM，
∴∠BFC=∠EGD，
∴∠BAF+∠ABF=∠GAE+∠AEG，
∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
同理∠GAE=∠AEG，
∴2∠BAF=2∠EAG，
即∠BAC=∠EAD．
分析：先分别取AC、BD的中点F、G，再连接BF、MF、MG、EG，由于F是AC中点，∠ABC=90°，利用直角三角形斜边上中线的性质可得BF=AC，易知MG是△ACD的中位线，于是MG=AC，从而有BF=MG，同理GE=MF，结合BM=EM可证△BFM≌△MGE，那么∠BFM=∠MGE，根据平行线的性质可得∠CFM=∠CAD=∠DGM，根据等式性质可得∠BFC=∠EGD，利用三角形外角性质，结合直角三角形斜边上中线的性质可得2∠BAF=2∠EAG，即∠BAC=∠EAD．
点评：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、平行线的性质．解题的关键是作辅助线，证明△BFM≌△MGE．