Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．

Answer 1

四边形EFGH是正方形．

证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF=AC，

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，

∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，   

∴四边形EFGH是菱形．       

设AC与BD交于点O，AC与EH交于点M

在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，

∴EH∥BD，同理GH∥AC，

∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，

∵EH∥BD，∴∠EMC=∠BOC =90°，   

∵HG∥AC，∴∠EHG=∠EMC=90°，

∴四边形EFGH是正方形．