Question

如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．πcm²
B．πcm²
C．cm²
D．cm²

Answer 1

【答案】分析：过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，则△AOB是等腰直角三角形，由∠ACO=90°，可知△AOC是等腰直角三角形，由HL定理可知Rt△OCE≌Rt△ACE，故可得出S_扇形OEC=S_扇形AEC，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，S_阴影=S_△AOB即可得出结论．
解答：解：过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OA是直径，
∴∠ACO=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE=AE，OC=AC，
在Rt△OCE与Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△OCE≌Rt△ACE，
∵S_扇形OEC=S_扇形AEC，
∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，
同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，
∴S_阴影=S_△AOB=×1×1=cm²．
故选C．
点评：本题考查的是扇形面积的计算与等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形得出S_阴影=S_△AOB是解答此题的关键．