Question

 (本小题9分)如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D

1.（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；

2.（2）求B、C两点的坐标；

3.（3）求直线CD的函数解析式；

4.（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标.

 

Answer 1

 

1.解：（1）C为弧OB的中点

           联结AC

           ∵OC⊥OA    ∴AC为圆的直径    --------------------------------------1分

           ∴∠ABC=90°

∵△OAB为等边三角形

∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°

∵∠ACB=∠AOB=60°

∴∠COB=∠OBC=30°

∴弧OC=弧BC        -----------------------2分

即C为弧OB的中点

 

2.（2）过点B作BE⊥OA于E

∵A（2，0）    ∴OA=2

∴OE=1，BE= 

∴点B的坐标是（1，）

∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径

∴AC⊥CD，AC⊥OB    ∴∠CAO=∠OCD=30°∴

∴C(0,)   

3.（3）在△COD中，∠ COD=90°，

∴OD=      ∴D(-,0)          

        ∴直线CD的解析式为：

4.（4）∵四边形OPCD是等腰梯形

    ∴∠CDO=∠DCP=60°  

    ∴∠OCP=∠COB =30°

    ∴PC=PO             

    过点P 作PF⊥OC于F,  则OF=OC=,

∴ PF=                            

    ∴ 点P的坐标为：（，）

解析:略