Question

（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设
PE=x，矩形PFOE的面积为S
（1）求出S与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）根据矩形的对边相等可得OF=PE=x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，
∵AO=8，BO=6，
∴tanB=

AO

BO

=

PF

BF

，
即

8

6

=

PF

6-x

，
解得PF=

4

3

（6-x），
∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•

4

3

（6-x）=-

4

3

x²+8x，
即S=-

4

3

x²+8x；

（2）∵S=-

4

3

x²+8x=-

4

3

（x²-6x+9）+12=-

4

3

（x-3）²+12，
∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是12．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，矩形的性质与锐角的正切的利用，（2）把二次函数的解析式转互为顶点式形式是解题的关键．