题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y的正半轴上，且OA＝8，OC＝6，连接AC，点D为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点O停止，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于点F，连接EF．
（1）当t的值为 时，四边形DEOF是矩形；
（2）用含t的代数式表示线段OF的长度，并说明理由；
（3）当△OEF面积为
时，请直接写出直线DE的解析式．
【答案】（1）3；（2）
+
t；（3）y＝﹣
x+4或y＝﹣
x+
．
【解析】
（1）根据DE⊥OC得到DE∥OA，由线段的中点的定义得到CD=AD，从而可得到结论；
（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，推出四边形DMON是矩形，求得DM=
OC=3，DN=OA=4，根据相似三角形的性质得到FM=EN，于是得到结论；
（3）由OA=8，OC=6，得到A（8，0），C（0，6），求得D（4，3），根据三角形的面积列方程得到t=2或
，从而可得到直线DE的解析式．
（1）根据平行线的判定定理得到DE∥OA，由线段的中点的定义得到CD＝AD，于是得到结论，
（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，推出四边形DMON是矩形，求得DM＝OC＝3，DN＝OA＝4，根据相似三角形的性质得到FM＝EN，于是得到结论；
（3）由OA＝8，OC＝6，得到A（8，0），C（0，6），求得D（4，3），根据三角形的面积列方程得到t＝2或，于是得到结论．
【解答】
解：（1）当DE⊥OC时，四边形DEOF是矩形；
∵DE⊥OC，
∴DE∥OA，
∵点D为AC中点，
∴CD＝AD，
∴CE＝OE＝OC＝3，
∴t＝3，
∴当t的值为3s时，四边形DEOF是矩形，
故答案为：3；
（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥OC，
∴四边形DMON是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥OC，DN∥OA，
∴
＝
，
＝
，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM＝OC＝3，DN＝OA＝4，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDN，
又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴
＝
＝，
∴FM＝EN，
∵CN＝OC＝3，CE＝t，
∴EN＝3﹣t，
∴FM＝EN＝
﹣t，
∴OF＝4﹣FM＝+t；
（3）∵OA＝8，OC＝6，
∴A（8，0），C（0，6），
∵点D为AC中点，
∴D（4，3），
∵CE＝t，
∴OE＝6﹣t，
∵OF＝+t，
∴△OEF面积＝OEOF＝（6﹣t）（+t）＝
，
解得：t＝2或，
当t＝2时，点E（0，4），
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+4；
当t＝时，点E（0，），
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+，
综上所述，直线DE的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x+．
