Question

边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是

1

96

a

．

Answer 1

分析：延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D，然后判定BD是三角形的中位线，然后求出BD的长，再求出BC的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，也就是第2个正六边形与第1个正六边形的边长的关系，再根据此规律依次求解即可．

解答：解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，
∵B为中点，
∴BD=

1

2

×

1

3

a=

a

6

，
∴BC=a-

a

6

-

a

3

=

a

2

，
∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的

1

2

，
∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的

1

3

，
∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的

1

2

，
根据题意，第一个正六边形的边长是

1

3

a，
所以，第6个正六边形的边长：

1

3

a×（

1

2

）⁵=

1

96

a．
故答案为：

1

96

a．

点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的

1

2

是解题的关键．