Question

如图，直线y＝－x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y＝ax²＋bx＋c过A、C、O三点．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)过点B作直线与x轴交于点D，且OB²＝OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；

(3)抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)A(6，0)，B(0，6)　　1分 　　连结OC，由于∠AOB＝90°，C为AB的中点，则， 　　所以点O在⊙C上(没有说明不扣分)． 　　过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点，故点C的横坐标为3． 　　又点C在直线y＝－x＋6上，故C(3，3)　　2分 　　抛物线过点O，所以c＝0， 　　又抛物线过点A、C，所以，解得： 　　所以抛物线解析式为　　3分 　　(2)OA＝OB＝6代入OB2＝OA·OD，得OD＝6　　4分 　　所以OD＝OB＝OA，∠DBA＝90°．5分 　　又点B在圆上，故DB为⊙C的切线　　6分(通过证相似三角形得出亦可) 　　(3)假设存在点P满足题意．因C为AB中点，O在圆上，故∠OCA＝90°，要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形， 　　则∠CAP＝90°或∠COP＝90°，7分 　　若∠CAP＝90°，则OC∥AP，因OC的方程为y＝x，设AP方程为y＝x＋B． 　　又AP过点A(6，0)，则b＝－6，8分 　　方程y＝x－6与联立解得：，， 　　故点P1坐标为(－3，－9)　　9分 　　若∠COP＝90°，则OP∥AC，同理可求得点P2(9，－9)(用抛物线的对称性求出亦可) 　　故存在点P1坐标为(－3，－9)和P2(9，－9)满足题意．10分